Dr. Malte Gerhold

Bei dem Forschungsvorhaben handelt es sich um ein Projekt aus der Operatortheorie mit Bezügen zur nichtkommutativen Geometrie und potentiellen Bezügen zur mathematischen Physik. Hauptziel dieses Projektes ist es, ausgehend von Gerholds und Shalits Begriff des „Dilatationsabstandes“, eine Rigiditätseigenschaft von Operatorsystemen zu definieren und diese in Beziehung zu anderen Rigiditätseigenschaften zu setzen, insbesondere Arvesons Hyperrigidität und Thompsons approximative eindeutige Fortsetzungseigenschaft. Dabei steht zu erwarten, dass Hyperrigidität die stärkste der betrachteten Rigiditätseigenschaften ist, und es stellt sich vor allem die Frage, ob eine der anderen übrigen die jeweils andere impliziert oder nicht.
Des Weiteren soll der Anwendungsbereich des Dilatationsabstandes von unitär erzeugten auf größere Klassen von Operatorsystemen ausgedehnt werden, insbesondere solche, die in engem Zusammenhang mit kompakten Quantengruppen stehen. Damit verbunden sind zwei Hoffnungen, die zu diesem Zeitpunkt aber noch nicht abschließend eingeschätzt werden können. Einerseits könnte nach dem Vorbild des Stetigkeitsbeweises für das Bündel der nichtkommutativen Tori von Gerhold und Shalit ein Stetigkeitsbeweis für gewisse Bündel von kompakten Quantengruppen (insbesondere der freien unitären und freien orthogonalen Quantengruppen) gefunden werden. Andererseits könnten auf Grundlage des Dilatationsabstandes entwickelte Stetigkeitsbegriffe für stochastische Prozesse auf Quantengruppen neue Perspektiven auf die Frage ermöglichen, ob gaußsche Prozesse über eine geeignete Stetigkeit charakterisiert werden können (klassisch sind es genau die pfadstetigen Prozesse, aber im nichtkommutativen Fall gibt es keine Pfade).

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