Stochastische Prozesses mit unabhängigen und stationären Zuwächsen werden als Lévy-Prozesse bezeichnet. Wichtige Beispiele von Lévy-Prozessen sind die Brownsche Bewegung und der Poisson-Prozess. Diese Prozesse spielen in der stochastischen Modellierung eine fundamentale Rolle, sie werden z.B. in der Physik, der Biologie, und der Finanz- und Versicherungsmathematik verwendet. Die Quanten-Stochastik ist eine Verallgemeinerung der Wahrscheinlichkeitstheorie, die sich durch die mathematische Struktur der Quantenphysik motiviert. Mein Projekt befasst sich mit Quanten-Lévy-Prozessen, d.h. mit stochastische Prozesses mit unabhängigen und stationären Zuwächsen im Rahmen der Quanten-Stochastik.
Ziel des Vorhabens ist es, aktuelle Fragen dieses Forschungsgebietes zu untersuchen und neue Anwendungen in der Quantendynamik und der nichtkommutativen Geometrie zu entwickeln. 

Die Schwerpunkte sind: 

1. Anwendungen von Quanten-Lévy-Prozessen in der Quantendynamik 

Lévy-Prozesse liefern interessante Beispiele von quantendynamischen Halbgruppen und Produktsystemen. Sie spielen auch eine wichtige Rolle bei der Konstruktion von Dilatationen. Tsirelson hat gezeigt, dass Lévy-Prozesse mit Werten in Halbgruppen Typ-II Produktsysteme liefern können. Wir beabsichten diese Konstruktion für Quanten-Lévy-Prozesse zu verallgemeinern, um so weitere neue Beispiele zu erhalten. 

2. Anwendungen in der nichtkommutativen Geometrie 

Die Konstruktion und das Studium von Dirac-Operatoren und spektralen Tripeln sind ein zentrales Ziel der nichtkommutativen Geometrie. Aus den Dirichletformen quantendynamischer Halbgruppen lassen sich Derivationsoperatoren konstruieren. Lévy-Prozesse auf kompakten Quantengruppen können so zu interessanten neuen Dirac-Operatoren und spektralen Tripeln führen, die wir in diesem Projekt eingehend untersuchen wollen.

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